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发表于 2008-3-23 12:19:47
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关于空间闭折线,除定理32外,熊曾润还在《边数为奇数的空间闭折线的美妙性质》 中有如下结果:
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??定理35:在空间闭折线A1A2…An中,若∠AiAn+i+1Ai+1 (i=1,2,…,n)的平分线与边AiAi+1相交于点Pi,则
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??(A1P1/P1A2) (A2P2/P2A3)…(ANPn/PnA1)=1.
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??定理36:在空间闭折线A1A2…An中,从顶点iAn+i+1作三角形AiAn+i+1Ai+1 (i=1,2,…,n)的外接圆的切线,与边AiAi+1相交于点Pi,则
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??(A1P1/P1A2) (A2P2/P2A3)…(ANPn/PnA1)=1.
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??关于空间闭折线的内接闭折线的性质,其讨论过程颇为有趣且对我们有一定的启示作用.熊曾润建立了如下不等式:
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??定理37: 设是B1B2…Bn闭折线A1A2…An的内接闭折线,A1A2…An的顶角∠Ai=2θi(i=1,2,…,n),记内接闭折线B1B2…Bn的周长为m0,三角形BiAi+1Bi+1的周长为mi,则 ∑[1≤i≤n](1/mi) ≥n3/[(n+∑[1≤i≤n]cscθi)m0].
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??实际上,在定理37之前就有更一般的结果发表了,这就是贾玉友在文 中得到的:
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??定理38:设是B1B2…Bn闭折线A1A2…An的内接闭折线,A1A2…An的顶角∠Ai=2θi(i=1,2,…,n),记内接闭折线B1B2…Bn的周长为m0,三角形BiAi+1Bi+1的周长为mi,则
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??∑[1≤i≤n](1/mik) ≥n2k-1/[(n+∑[1≤i≤n]cscθi)km0k].
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??之后,简超对定理38又作了改进,给出了:
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??定理39:设是B1B2…Bn闭折线A1A2…An的内接闭折线,A1A2…An的顶角∠Ai=2θi(i=1,2,…,n),记内接闭折线B1B2…Bn的周长为m0,三角形BiAi+1Bi+1的周长为mi,则
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??[Π[1≤i≤n](1/mi)]1/n≤(m/n) [Π[1≤i≤n](1+cscθi)]1/n [n2k-1/[(n+∑[1≤i≤n]cscθi)km0k].
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??注意到定理38的结果是诸mi的-k次幂平均,即
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??而定理39的结果是诸mi的几何平均,故后者优于前者.
谁能看得懂啊? |
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